Szereg harmoniczny — rozbieżność

Co się właśnie stało?

Dodawałeś kolejne, coraz mniejsze ułamki. Każdy z nich jest maleńki, a i tak suma częściowa nieustannie rosła — i nic jej nie zatrzymuje. To jeden z najbardziej zaskakujących wyników w analizie: mimo że wyrazy $1/n$ dążą do zera, ich suma dąży do nieskończoności.

Szereg harmoniczny:

Suma częściowa $H(N)$ rośnie bez granic, choć coraz wolniej — asymptotycznie zachowuje się jak logarytm naturalny:

Dokładniej $H(N) \approx \ln N + \gamma$, gdzie $\gamma \approx 0{,}5772$ to stała Eulera–Mascheroniego. Ponieważ $\ln N \to \infty$, gdy $N \to \infty$, suma nie ma żadnego sufitu — szereg jest rozbieżny.

Dlaczego to takie zaskakujące?

Sam fakt, że wyrazy maleją do zera, nie gwarantuje, że suma jest skończona. Porównaj z szeregiem geometrycznym (różowa linia na scenie):

Tu wyrazy też dążą do zera, ale suma jest skończona (zbieżna, równa 1), bo maleją dostatecznie szybko. W szeregu harmonicznym wyrazy $1/n$ maleją zbyt wolno, by suma się zatrzymała. Warunek „wyrazy dążą do zera" jest więc konieczny, ale NIE wystarczający dla zbieżności szeregu.

Dowód Oresme’a (ok. 1350 r.):

Rozbieżność udowodnił francuski uczony (biskup) Nicole Oresme w XIV wieku genialną metodą grupowania wyrazów: $\tfrac12 \ge \tfrac12$, $\tfrac13+\tfrac14 > \tfrac12$, $\tfrac15+\tfrac16+\tfrac17+\tfrac18 > \tfrac12$, i tak dalej — każda kolejna grupa daje więcej niż $\tfrac12$. Takich grup jest nieskończenie wiele, więc suma przekracza każdą z góry zadaną liczbę: musi być nieskończona.

Po co Ci to na maturze:

Szereg harmoniczny to sztandarowy kontrprzykład: pokazuje, że z $a_n \to 0$ NIE wynika zbieżność szeregu $\sum a_n$. Zapamiętaj go razem z geometrycznym $\tfrac12+\tfrac14+\dots=1$ jako parę „rozbieżny vs zbieżny".

Zapamiętaj: $1+\tfrac12+\tfrac13+\dots$ jest rozbieżny — suma rośnie jak $\ln N$ i dąży do nieskończoności, choć wyrazy dążą do zera. Malenie wyrazów do zera to warunek konieczny, lecz niewystarczający dla zbieżności.