Złota liczba i ciąg Fibonacciego
Rozszerzenie tematu ciągów liczbowych. Ciąg Fibonacciego to jeden z najbardziej znanych przykładów ciągu rekurencyjnego: F(n)=F(n-1)+F(n-2). Iloraz kolejnych wyrazów F(n)/F(n-1) oscyluje, ale zbiega do złotej liczby φ=(1+√5)/2≈1,618 — stałej pojawiającej się też w geometrii i przyrodzie. Fibonacci wprowadził ciąg do Europy w dziele „Liber Abaci" (1202 r.) — wielkie odkrycie.
Dam Ci docelowy iloraz — dobierz numer wyrazu n tak, by F(n)/F(n-1) był mu równy. Dla małych n iloraz skacze wokół φ.
Co się właśnie stało?
Przesunąłeś suwak na wysoki numer wyrazu ciągu Fibonacciego. Widziałeś, że iloraz kolejnych wyrazów przestaje się wahać i osiada bardzo blisko jednej, konkretnej liczby niewymiernej — złotej liczby φ.
Ciąg Fibonacciego:
Każdy kolejny wyraz to suma dwóch poprzednich: 1, 1, 2, 3, 5, 8, 13, 21, 34, 55, 89, 144… Włoski matematyk Leonardo z Pizy, zwany Fibonaccim, wprowadził ten ciąg do Europy w dziele „Liber Abaci" (1202 r.), rozwiązując zadanie o rozmnażaniu królików — choć sam ciąg był już wcześniej znany matematykom indyjskim.
Złota liczba φ:
Zaskakujące jest to, że prosty, rekurencyjny ciąg liczb całkowitych „sam z siebie" prowadzi do liczby niewymiernej, która pojawia się w zupełnie innych dziedzinach: w geometrii (złoty podział odcinka), w sztuce (proporcje w architekturze i malarstwie) i w przyrodzie (ułożenie nasion słonecznika, muszle ślimaków, gałązki roślin, spirale w kwiatach).
Dlaczego iloraz oscyluje, a nie od razu „trafia" w φ?
Dla małych n wyrazy ciągu są jeszcze „niedojrzałe" i iloraz raz jest nad, raz pod φ (np. 1/1=1, 2/1=2, 3/2=1.5, 5/3≈1.667…). Wraz ze wzrostem n różnica systematycznie maleje — to właśnie niezmiennik, który obserwujesz na wykresie po prawej stronie sceny.
Po co Ci to na maturze:
Ciąg Fibonacciego to klasyczny przykład ciągu określonego rekurencyjnie — typ zadania pojawiający się w dziale o ciągach. Zapamiętaj definicję F(n) = F(n-1) + F(n-2) oraz to, że granica ilorazu kolejnych wyrazów to złota liczba φ.
Zapamiętaj: F(n) = F(n-1) + F(n-2), a iloraz F(n)/F(n-1) dąży do φ = (1+√5)/2 ≈ 1,618 — złotej liczby obecnej w matematyce, sztuce i przyrodzie.
Teoria i wzory
Ciąg Fibonacciego
Kolejne wyrazy:
Granica ilorazu
Własność złotej liczby
spełnia , czyli — stąd bierze się zbieżność ilorazów kolejnych wyrazów.
Oznaczenia: -ty wyraz Fibonacciego, złota liczba.
Uczysz? Umieść ten eksperyment na swojej stronie.
Darmowy widget — wklej na stronę szkoły, bloga lub notatki. Linkuje do pełnej wersji.
Najczęstsze pytania
›Jak definiuje się ciąg Fibonacciego?
Rekurencyjnie: F(n)=F(n-1)+F(n-2), z F(1)=F(2)=1.
›Do czego dąży iloraz kolejnych wyrazów Fibonacciego?
Do złotej liczby φ=(1+√5)/2≈1,618.
›Gdzie jeszcze pojawia się złota liczba φ?
W geometrii (złoty podział), sztuce i przyrodzie (np. ułożenie nasion słonecznika, muszle ślimaków).