Złota liczba i ciąg Fibonacciego

Co się właśnie stało?

Przesunąłeś suwak na wysoki numer wyrazu ciągu Fibonacciego. Widziałeś, że iloraz kolejnych wyrazów przestaje się wahać i osiada bardzo blisko jednej, konkretnej liczby niewymiernej — złotej liczby φ.

Ciąg Fibonacciego:

Każdy kolejny wyraz to suma dwóch poprzednich: 1, 1, 2, 3, 5, 8, 13, 21, 34, 55, 89, 144… Włoski matematyk Leonardo z Pizy, zwany Fibonaccim, wprowadził ten ciąg do Europy w dziele „Liber Abaci" (1202 r.), rozwiązując zadanie o rozmnażaniu królików — choć sam ciąg był już wcześniej znany matematykom indyjskim.

Złota liczba φ:

Zaskakujące jest to, że prosty, rekurencyjny ciąg liczb całkowitych „sam z siebie" prowadzi do liczby niewymiernej, która pojawia się w zupełnie innych dziedzinach: w geometrii (złoty podział odcinka), w sztuce (proporcje w architekturze i malarstwie) i w przyrodzie (ułożenie nasion słonecznika, muszle ślimaków, gałązki roślin, spirale w kwiatach).

Dlaczego iloraz oscyluje, a nie od razu „trafia" w φ?

Dla małych n wyrazy ciągu są jeszcze „niedojrzałe" i iloraz raz jest nad, raz pod φ (np. 1/1=1, 2/1=2, 3/2=1,5, 5/3≈1,667…). Wraz ze wzrostem n różnica $|F(n)/F(n-1) - \varphi|$ systematycznie maleje — to właśnie niezmiennik, który obserwujesz na wykresie po prawej stronie sceny.

Po co Ci to na maturze:

Ciąg Fibonacciego to klasyczny przykład ciągu określonego rekurencyjnie — typ zadania pojawiający się w dziale o ciągach. Zapamiętaj definicję F(n) = F(n-1) + F(n-2) oraz to, że granica ilorazu kolejnych wyrazów to złota liczba φ.

Zapamiętaj: F(n) = F(n-1) + F(n-2), a iloraz F(n)/F(n-1) dąży do φ = (1+√5)/2 ≈ 1,618 — złotej liczby obecnej w matematyce, sztuce i przyrodzie.