Twierdzenie Pitagorasa — dowody wizualne

Co się właśnie stało?

Kwadrat zbudowany na przeciwprostokątnej ma dokładnie takie samo pole, jak suma kwadratów zbudowanych na obu przyprostokątnych. Widać to bez wzoru: $9$ niebieskich i $16$ zielonych kafelków po przełożeniu wypełnia $25$ pól kwadratu na przeciwprostokątnej — bez luk i bez nakładania.

Twierdzenie Pitagorasa:

W trójkącie prostokątnym o przyprostokątnych $a$, $b$ i przeciwprostokątnej $c$ zachodzi:

Dla trójkąta $3\text{–}4\text{–}5$ daje to $3^2 + 4^2 = 5^2$, czyli $9 + 16 = 25$. To jedno z najstarszych i najważniejszych twierdzeń geometrii — przypisywane Pitagorasowi i pitagorejczykom (ok. 500 r. p.n.e.), choć znane już wcześniej Babilończykom i w Indiach.

Dowody „bez słów":

Twierdzenie ma setki różnych dowodów — wiele z nich to eleganckie dowody wizualne, polegające na przekładaniu i układaniu tych samych figur. Ten sam zestaw kawałków ułożony na dwa sposoby raz tworzy $a^2+b^2$, a raz $c^2$ — a skoro to te same kawałki, ich pola są równe.

Niezmiennik — warunek kąta prostego:

Równość $a^2+b^2=c^2$ zachodzi wyłącznie dla trójkąta prostokątnego (kąt prosty między przyprostokątnymi $a$ i $b$). Dla kąta ostrego jest $a^2+b^2>c^2$, dla rozwartego $a^2+b^2<c^2$. Odwrotność twierdzenia mówi, że jeśli $a^2+b^2=c^2$, to trójkąt musi być prostokątny — tak rozpoznaje się kąt prosty.

Po co Ci to na maturze:

Twierdzenie Pitagorasa to fundament geometrii euklidesowej, trygonometrii i geometrii analitycznej — wzór na odległość między punktami $d=\sqrt{(x_2-x_1)^2+(y_2-y_1)^2}$ to wprost Pitagoras. Chwyt: rozpoznaj kąt prosty, podpisz przyprostokątne i przeciwprostokątną, podstaw do $a^2+b^2=c^2$.

Zapamiętaj: w trójkącie prostokątnym pole kwadratu na przeciwprostokątnej jest sumą pól kwadratów na przyprostokątnych — $a^2+b^2=c^2$ (np. $3^2+4^2=5^2$).