Spirala Teodorosa — pierwiastki geometrycznie

Co się właśnie stało?

Dobudowując do spirali kolejne trójkąty prostokątne, w których jedna przyprostokątna ma zawsze długość $1$, otrzymujesz przeciwprostokątne o długościach $\sqrt2,\sqrt3,\sqrt4,\sqrt5,\dots$ — czyli pierwiastki kwadratowe kolejnych liczb naturalnych, „narysowane" cyrklem i linijką.

Jak powstaje spirala:

Zaczynamy od trójkąta prostokątnego równoramiennego o obu przyprostokątnych $1$ — jego przeciwprostokątna ma długość $\sqrt2$ (bo $1^2+1^2=2$). Do tej przeciwprostokątnej dobudowujemy nowy trójkąt z przyprostokątną $1$ — jego przeciwprostokątna to $\sqrt3$. I tak dalej.

Niezmiennik — jeden krok to jedno Pitagorasa:

Każda kolejna przeciwprostokątna powstaje z poprzedniej $\sqrt{n}$ i doklejonej przyprostokątnej $1$, więc ma długość $\sqrt{n+1}$. Stąd ciąg $\sqrt2,\sqrt3,\sqrt4,\dots$ pojawia się automatycznie.

Kim był Teodoros?

Spirala Teodorosa (zwana też spiralą pitagorejską lub spiralą pierwiastków kwadratowych) to konstrukcja przypisywana Teodorosowi z Cyreny (ok. 465–398 r. p.n.e.), greckiemu matematykowi i pitagorejczykowi, nauczycielowi Platona. Teodoros użył podobnej konstrukcji, by udowodnić niewymierność pierwiastków z liczb niebędących kwadratami — $\sqrt3,\sqrt5,\sqrt6,\dots$ aż do $\sqrt{17}$.

Dlaczego to ważne?

Konstrukcja pokazuje, jak abstrakcyjne liczby niewymierne można przedstawić jako konkretne, mierzalne długości geometryczne. Kolejne trójkąty owijają się wokół wspólnego środka pod stałym „przyrostem" kąta $\arctan\!\big(1/\sqrt{n}\big)$, a przy $\sqrt{17}$ spirala domyka pełny obrót i zaczyna nachodzić na siebie.

Po co Ci to na maturze:

To modelowy przykład twierdzenia Pitagorasa w akcji i geometrycznego sensu pierwiastka. Zapamiętaj wzór $(\sqrt{n})^2+1^2=n+1$, który daje przeciwprostokątną $\sqrt{n+1}$ w każdym kroku.

Zapamiętaj: spirala Teodorosa „rysuje" pierwiastki $\sqrt2,\sqrt3,\sqrt4,\dots$; każdy krok to $(\sqrt{n})^2+1^2=n+1\Rightarrow\sqrt{n+1}$.