Krzywe stożkowe

Co się właśnie stało?

Przechyliłeś płaszczyznę tnącą tak, by była równoległa do tworzącej stożka. Ten jeden szczególny kąt zamyka rodzinę elips i otwiera krzywą — powstaje parabola. Rodzaj przekroju zależy wyłącznie od kąta cięcia, a nie od tego, jak duży jest stożek.

Czym są krzywe stożkowe?

Krzywe stożkowe (okrąg, elipsa, parabola, hiperbola) to krzywe powstające przez przecięcie stożka płaszczyzną pod różnym kątem. Systematycznie zbadał je starożytny grecki matematyk Apoloniusz z Pergi w monumentalnym, ośmioksięgowym dziele „Stożkowe" (Conica, ok. 200 r. p.n.e.) — to właśnie on nadał tym krzywym nazwy używane do dziś: elipsa, parabola i hiperbola.

Cztery cięcia jednego stożka:

Przecinając stożek podwójny płaszczyzną, w zależności od kąta $\theta$ względem kąta tworzącej otrzymujemy:

• cięcie poziome (prostopadłe do osi) → okrąg, $x^2+y^2=r^2$;
• cięcie lekko ukośne (kąt mniejszy niż tworząca) → elipsa, $\dfrac{x^2}{a^2}+\dfrac{y^2}{b^2}=1$;
• cięcie równoległe do tworzącej → parabola, $y=ax^2$;
• cięcie strome (przecina obie połowy) → hiperbola, $\dfrac{x^2}{a^2}-\dfrac{y^2}{b^2}=1$.

Równanie okręgu:

— okrąg o środku $(a,\,b)$ i promieniu $r$; dla środka w początku układu upraszcza się do $x^2+y^2=r^2$. To najprostsza z krzywych stożkowych i punkt wyjścia geometrii analitycznej.

Niezmiennik — decyduje sam kąt:

Mimośród $e$ zależy tylko od kąta cięcia $\theta$ (i stałego kąta tworzącej $\alpha$), nie od rozmiaru stożka: $e=0$ → okrąg, $0<e<1$ → elipsa, $e=1$ → parabola, $e>1$ → hiperbola.

Te same krzywe rządzą niebem:

Ponad 1800 lat później okazało się, że krzywe stożkowe opisują ruch ciał niebieskich: Kepler odkrył, że planety krążą po elipsach (ze Słońcem w ognisku), a tor rzuconego ciała (pocisku) w jednorodnym polu grawitacyjnym to parabola; kometa nieokresowa mknie po hiperboli. Parabola jest też podstawą działania anten satelitarnych i reflektorów — skupiają promienie w ognisku.

Po co Ci to na maturze:

Okrąg $(x-a)^2+(y-b)^2=r^2$ i parabola $y=ax^2+bx+c$ to codzienność geometrii analitycznej i funkcji kwadratowej. Chwyt: rozpoznaj równanie krzywej i pamiętaj, że jeden stożek kryje wszystkie cztery.

Zapamiętaj: okrąg, elipsa, parabola i hiperbola to jedna rodzina — przekroje stożka. O tym, który dostaniesz, decyduje wyłącznie kąt cięcia: równolegle do tworzącej powstaje parabola.