Kostka Rubika — matematyka grup
Poza podstawą programową — permutacje i teoria grup (czynnik „wow"). Kostka Rubika ma ~43 tryliony (4,3·10¹⁹) ułożeń, a mimo to każde da się rozwiązać w co najwyżej 20 ruchach („liczba Boga", udowodniona obliczeniami w 2010 r.). Zbiór ułożeń tworzy grupę: ruchy składają się, mają odwrotności i element neutralny.
Dam Ci zdanie o kostce i teorii grup — oceń, czy jest prawdziwe. Klucz: 4,3·10¹⁹ ułożeń, ale „liczba Boga" = 20.
Kostka Rubika to obiekt teorii grup
Kostka Rubika to nie tylko zabawka, ale i piękny obiekt teorii grup — działu algebry badającego symetrie i operacje odwracalne. Kostka 3×3×3 ma astronomiczną liczbę ułożeń: dokładnie 43 252 003 274 489 856 000, czyli około 43 tryliony.
Gdyby ustawiać jedno ułożenie na sekundę, potrzeba by wielokrotności wieku Wszechświata, by przejść przez wszystkie.
„Liczba Boga" = 20 (God’s number)
A mimo to — i to jest zdumiewające — udowodniono w 2010 r. (dzięki ogromnym obliczeniom komputerowym zespołu Tomasa Rokickiego), że KAŻDE, nawet najbardziej pokręcone ułożenie da się rozwiązać w co najwyżej 20 ruchach. Tę liczbę nazwano „liczbą Boga".
Zbiór ułożeń tworzy grupę
Matematycznie zbiór wszystkich ułożeń kostki tworzy grupę: ruchy można ze sobą składać, każdy ruch ma ruch odwrotny (który go cofa), a „nic nie robienie" to element neutralny.
„Liczba Boga" 20 to średnica tej grupy — najdłuższa z najkrótszych dróg powrotu do ułożenia. Ruch i jego odwrotność zawsze znoszą się do elementu neutralnego .
Dlaczego to „wow":
Kostka Rubika jest dziś klasycznym przykładem, jak abstrakcyjna teoria grup opisuje konkretne układanki i symetrie. To wykracza poza podstawę programową (permutacje, teoria grup), ale pokazuje, że nawet 4,3·10¹⁹ możliwości mieści się w porządku o średnicy zaledwie 20.
Zapamiętaj: 4,3·10¹⁹ ułożeń — a każde do rozwiązania w ⩽ 20 ruchach. Ułożenia tworzą grupę: składanie, ruch odwrotny, element neutralny.
Teoria i wzory
Liczba ułożeń
Grupa ruchów
Ułożenia tworzą grupę: ruchy można składać (działanie), każdy ma ruch odwrotny, a „nic nie rób” to element neutralny. Kolejność ruchów ma znaczenie — grupa jest nieprzemienna.
Liczba Boga
Mimo ogromnej liczby stanów każdy da się rozwiązać w co najwyżej ruchach (udowodnione obliczeniowo w 2010 r.).
Oznaczenia: liczba ułożeń, maksymalna liczba ruchów.
Uczysz? Umieść ten eksperyment na swojej stronie.
Darmowy widget — wklej na stronę szkoły, bloga lub notatki. Linkuje do pełnej wersji.
Najczęstsze pytania
›W ilu ruchach da się ułożyć kostkę Rubika?
Każde ułożenie — w co najwyżej 20 ruchach; to tzw. „liczba Boga", udowodniona w 2010 r.
›Ile jest ułożeń kostki Rubika?
Dokładnie 43 252 003 274 489 856 000 — około 43 tryliony (4,3·10¹⁹).
›Co teoria grup ma wspólnego z kostką Rubika?
Zbiór ułożeń tworzy grupę: ruchy można składać, każdy ma ruch odwrotny, a „nic-nie-rób" to element neutralny.