Symbol Newtona — symetria

Co się właśnie stało?

Podświetliliśmy dwie różne pozycje w wierszu — k oraz n−k — położone symetrycznie względem środka. Ich słupki mają identyczną wysokość, bo $C(n,k)=C(n,n-k)$. Cały wiersz trójkąta Pascala jest lustrzanie symetryczny.

Symbol Newtona:

— liczba k-elementowych podzbiorów zbioru n-elementowego (bez powtórzeń, kolejność nieistotna). $n$ — liczność zbioru, $k$ — ile elementów wybieramy.

Symetria — sedno modelu:

Wybranie $k$ elementów „do wzięcia" jest tym samym, co wskazanie pozostałych $n-k$ elementów „do odrzucenia". Każdemu wyborowi k-elementowemu odpowiada dokładnie jeden wybór (n−k)-elementowy — dlatego obu jest tyle samo. Widać to też we wzorze: zamiana $k \leftrightarrow n-k$ nie zmienia mianownika $k!\,(n-k)!$.

Związek z trójkątem Pascala i dwumianem

Wiersz $n$ trójkąta Pascala to kolejno $C(n,0), C(n,1), \dots, C(n,n)$ — a symetria oznacza, że czyta się on tak samo od lewej i od prawej. Te same liczby to współczynniki dwumianu Newtona:

np. dla n = 4: 1, 4, 6, 4, 1 — palindrom. Skrajne wyrazy to zawsze $C(n,0)=C(n,n)=1$, a największy leży pośrodku wiersza.

Po co Ci to na maturze:

Symetria skraca rachunki: zamiast liczyć $C(20,17)$ policz $C(20,3)$ — ta sama wartość, a mniej mnożenia. To też szybki test poprawności: jeśli wiersz nie jest symetryczny, gdzieś jest błąd.

Zapamiętaj: $\binom{n}{k}=\binom{n}{n-k}$ — wybór k „do wzięcia" to wybór n−k „do odrzucenia". Wiersz Pascala jest symetryczny.