Trójkąt Pascala

Co się właśnie stało?

Każda liczba w trójkącie to suma dwóch liczb bezpośrednio nad nią (skrajne liczby w każdym wierszu to zawsze 1). Ta prosta reguła dodawania generuje wiersz po wierszu dokładnie te same liczby, które otrzymujesz ze wzoru na symbol Newtona — to nie przypadek, to dwie strony tej samej monety.

Trochę historii

Ten trójkąt znali matematycy w Chinach (Yang Hui, ok. 1261 r.), w Persji i w Indiach na długo przed Europą. To jednak francuski matematyk i filozof Blaise Pascal w traktacie „Traité du triangle arithmétique” — napisanym w 1654 r., wydanym pośmiertnie w 1665 r. — usystematyzował jego własności i połączył je z rachunkiem prawdopodobieństwa oraz kombinatoryką. Wcześniej, korespondując z Pierre’em de Fermatem nad problemami gier losowych, Pascal położył podwaliny pod teorię prawdopodobieństwa.

Symbol Newtona:

— liczba sposobów wyboru k elementów z n-elementowego zbioru (bez powtórzeń, bez znaczenia kolejności). Wiersz n trójkąta to kolejno: $C(n,0), C(n,1), \dots, C(n,n)$.

Wzór dwumianowy Newtona:

Dlatego wiersz n trójkąta to dokładnie zestaw współczynników przy rozwijaniu $(a+b)^n$ — np. dla n = 4: $a^4+4a^3b+6a^2b^2+4ab^3+b^4$, a liczby 1, 4, 6, 4, 1 to właśnie wiersz 4.

Ukryte wzory w przekątnych

Skrajna przekątna to same jedynki, kolejna — liczby naturalne (1, 2, 3, 4…), a trzecia (podświetlona na żółto) — liczby trójkątne: 1, 3, 6, 10, 15… Suma wszystkich liczb w wierszu n wynosi zawsze dokładnie $2^n$ — to niezmiennik tego modelu.

Po co Ci to na maturze:

Zadania o wyborze k elementów z n (kombinacje), dwumianie Newtona i sumach współczynników rozwiązuje ten sam trójkąt. Chwyt: nie licz silni ręcznie dla małych n — odczytaj wartość wprost z trójkąta.

Zapamiętaj: każdy wyraz to suma dwóch znad niego, wiersz n to współczynniki $(a+b)^n$, a suma wiersza n zawsze wynosi $2^n$.