Prawo Benforda — pierwsza cyfra

Co się właśnie stało?

W wielu naturalnych zbiorach danych — populacjach miast, kwotach rachunków, długościach rzek, stałych fizycznych — pierwsza cyfra NIE jest rozłożona równomiernie (nie po ~11% każda). Zamiast tego cyfra 1 pojawia się na początku aż w ~30% przypadków, a cyfra 9 tylko w ~5%. Rozkład jest logarytmiczny — to prawo Benforda.

Wzór Benforda:

gdzie $d\in\{1,2,\dots,9\}$ to pierwsza cyfra. Stąd $P(1)=\log_{10}2\approx 30{,}1\%$, $P(2)\approx 17{,}6\%$, …, $P(9)=\log_{10}\tfrac{10}{9}\approx 4{,}6\%$. Prawdopodobieństwa maleją „schodkowo" od 1 do 9 i sumują się do $100\%$.

Skąd się to bierze?

Intuicyjnie: aby liczba wzrosła ze $100$ do $200$ (pierwsza cyfra 1), musi się podwoić, ale by wzrosła z $900$ do $1000$ (znów pierwsza cyfra 1), wystarczy przyrost o ~11%. Dane rosnące wykładniczo (obejmujące wiele rzędów wielkości) „spędzają więcej czasu" z małą pierwszą cyfrą. Dlatego prawo spełniają nawet czysto matematyczne ciągi jak potęgi dwójki $2^n$ czy liczby Fibonacciego — możesz to sprawdzić w kontrolce powyżej.

Historia

Zjawisko zauważył astronom Simon Newcomb w 1881 r. — spostrzegł, że pierwsze strony drukowanych tablic logarytmicznych (te z cyfrą 1) są bardziej zużyte niż końcowe. Prawo spopularyzował fizyk Frank Benford w 1938 r., analizując ponad 20 000 liczb z bardzo różnych źródeł (od powierzchni rzek po masy atomowe).

Wykrywanie oszustw (niezmiennik w praktyce)

Najważniejsze zastosowanie: sztucznie sfałszowane dane — fikcyjne rachunki w księgowości, zmanipulowane wyniki wyborów — zwykle nie spełniają prawa Benforda, bo oszust wymyśla „równomiernie losowe" cyfry. Odstępstwo empirycznego rozkładu od krzywej $\log_{10}(1+\tfrac{1}{d})$ zdradza manipulację. Dlatego prawo Benforda to realne narzędzie audytorów i śledczych do wykrywania fałszerstw finansowych i wyborczych (wybierz „Sfałszowane" powyżej, by zobaczyć płaski, podejrzany rozkład).

Po co Ci to na maturze:

To piękne połączenie logarytmów i rachunku prawdopodobieństwa z realnym zastosowaniem. Pokazuje, że rozkład bywa nierównomierny wbrew intuicji, i uczy krytycznego patrzenia na dane. Zapamiętaj wzór $P(d)=\log_{10}(1+\tfrac{1}{d})$ oraz to, że logarytm dziesiętny odpowiada tu za „ważenie" rzędów wielkości.

Zapamiętaj: w naturalnych danych rozciągniętych na wiele rzędów wielkości pierwsza cyfra ma rozkład logarytmiczny $P(d)=\log_{10}(1+\tfrac{1}{d})$ — cyfra 1 dominuje (~30%), cyfra 9 jest najrzadsza (~5%). Zbyt „równy" rozkład zdradza sfałszowane liczby.