Problem Monty Halla — słynny paradoks

Co się właśnie stało?

Trzy bramki, za jedną samochód, za dwiema koza. Wybierasz bramkę 1. Prowadzący — który WIE, gdzie jest nagroda — zawsze otwiera jedną z pozostałych dwóch bramek z kozą (nigdy Twoją, nigdy z nagrodą). Zostajesz z wyborem: zostać, czy zmienić na ostatnią, nieotwartą bramkę. Siatka 30 gier pokazuje wynik tej samej, powtarzalnej sytuacji: przy strategii „zostaję” wygrywasz w 10 z 30 gier, przy „zmieniam” — w 20 z 30.

Prawdopodobieństwa warunkowe:

Zmiana bramki podwaja szansę wygranej — z 1/3 do 2/3. To nie jest błąd rachunkowy ani sztuczka: wynika wprost z tego, że działanie prowadzącego nie jest losowe.

Dlaczego to działa? (niezmiennik)

Strategia „zmieniam” wygrywa dokładnie wtedy, gdy Twój pierwotny wybór był pudłem — a to zdarza się w 2/3 przypadków (za dwiema z trzech bramek jest koza). Strategia „zostaję” wygrywa dokładnie wtedy, gdy pierwotny wybór był trafiony — czyli w 1/3 przypadków. Prowadzący, otwierając bramkę z kozą, nie zmienia szansy Twojego pierwszego wyboru (ta zostaje 1/3) — ale przenosi całe pozostałe 2/3 prawdopodobieństwa na jedną, ostatnią nieotwartą bramkę.

Historia paradoksu

Problem sformułował i poprawnie rozwiązał matematycznie Steve Selvin w liście do czasopisma „The American Statistician” w 1975 roku — to on ukuł nazwę „Monty Hall Problem”, nawiązując do prowadzącego popularnego amerykańskiego teleturnieju „Let’s Make a Deal”. Mimo poprawnego rozwiązania problem pozostawał mało znany, dopóki w 1990 roku nie spopularyzowała go Marilyn vos Savant w swojej rubryce w magazynie „Parade” — wywołując ogromną kontrowersję: redakcja dostała tysiące listów, w tym od profesorów matematyki, błędnie przekonanych, że się myli.

Skąd bierze się intuicyjny błąd?

Większość osób zakłada, że po otwarciu jednej bramki zostają „po prostu dwie możliwości”, więc szanse muszą być 50/50. To pomija kluczowy fakt: prowadzący WIE, gdzie jest nagroda, i celowo unika jej otwarcia. Jego wybór niesie informację, której nie miałeś w chwili pierwszego wyboru — i tę informację warto wykorzystać, zmieniając bramkę.

Po co Ci to na maturze:

To klasyczny przykład prawdopodobieństwa warunkowego — sprawdza, czy odróżniasz zdarzenia losowe od decyzji podjętej celowo na podstawie wiedzy. Chwyt: zawsze zastanów się, czy dodatkowa informacja (tu: która bramka została otwarta) mogła powstać losowo, czy w wyniku świadomego wyboru — to zmienia całe prawdopodobieństwo.

Zapamiętaj: zmiana bramki daje 2/3 szansy wygranej, pozostanie — tylko 1/3. Zawsze zmieniaj.