Niewymierność √2 — dowód nie wprost

Co się właśnie stało?

$\sqrt2$ to długość przekątnej kwadratu o boku 1 (twierdzenie Pitagorasa: $1^2+1^2=2$) — konkretna, mierzalna długość. A jednak nie da się jej zapisać dokładnym ułamkiem $p/q$. Udowadniamy to nie wprost: zakładamy, że się da, i dochodzimy do sprzeczności.

Dowód przez sprzeczność, krok po kroku:

Załóżmy przeciwnie — że $\sqrt2$ jest wymierna, więc da się zapisać jako ułamek nieskracalny (bez wspólnych dzielników):

Podnosimy do kwadratu i mnożymy przez $q^2$:

Skoro $p^2=2q^2$, to $p^2$ jest parzyste — a kwadrat liczby nieparzystej jest nieparzysty, więc $p$ jest parzyste: $p=2k$. Wstawiamy to z powrotem:

Teraz $q^2$ jest parzyste, więc $q$ też jest parzyste. Ale wtedy $p$ i $q$ są oba parzyste — mają wspólny dzielnik 2 — co przeczy założeniu, że ułamek był nieskracalny.

Sprzeczność oznacza, że założenie było fałszywe. Zatem $\sqrt2$ nie jest żadnym ułamkiem $p/q$ — jest liczbą niewymierną.

Dlaczego to był wstrząs?

Odkrycia dokonali starożytni pitagorejczycy (ok. 500 r. p.n.e., przypisuje się je Hippasosowi z Metapontu). Wierzyli, że „wszystko jest liczbą" — czyli ułamkiem — więc istnienie długości, której nie sposób zapisać ułamkiem, zburzyło ich światopogląd. Legenda głosi, że Hippasos ujawnił ten sekret i został za to ukarany. To odkrycie zmusiło matematyków do rozszerzenia pojęcia liczby o liczby niewymierne (jak $\sqrt2,\ \pi,\ e$) i zbudowania solidnych podstaw analizy.

Po co Ci to na maturze:

Dowód niewymierności $\sqrt2$ to klasyczny przykład dowodu nie wprost: zakładasz zaprzeczenie tezy i wyprowadzasz sprzeczność, co dowodzi tezy. Dowody nie wprost to obowiązkowy element matury rozszerzonej — ten schemat (założenie → wyprowadzenie → sprzeczność) przenosi się na wiele innych zadań.

Zapamiętaj: $\sqrt2=\dfrac{p}{q}\Rightarrow 2q^2=p^2$ zmusza $p$ i $q$ do parzystości — sprzeczność z nieskracalnością. Dlatego $\sqrt2$ jest niewymierna, a metoda „nie wprost" to jedno z najpotężniejszych narzędzi dowodowych.