Trójkąt Sierpińskiego

Co się właśnie stało?

Zacząłeś od pełnego trójkąta równobocznego. W każdej iteracji każdy zapełniony trójkąt dzielisz na 4 mniejsze (łącząc środki boków) i usuwasz środkowy — zostają 3 rogowe. Po wielu krokach z pełnej figury robi się coraz bardziej „dziurawa" koronka (przerywany trójkąt to figura startowa, z której znikają środki).

Pole maleje geometrycznie do zera:

Skoro z 4 równych trójkącików zostają 3, to pole mnoży się przez $\tfrac{3}{4}$ co iterację. Iloraz $\tfrac{3}{4} < 1$, więc ciąg $P_k$ jest zbieżny do zera — po nieskończenie wielu krokach zapełnione pole znika, choć liczba trójkącików rośnie jak $3^k$.

Samopodobieństwo i wymiar fraktalny:

Każdy z 3 rogów to miniaturowa kopia całości — figura jest samopodobna. Jej wymiar fraktalny wynosi $\log 3/\log 2 \approx 1{,}585$ — leży między linią (1) a płaszczyzną (2): struktura jest „bardziej niż linią, mniej niż płaszczyzną".

Kto to odkrył?

Polski matematyk Wacław Sierpiński (1882–1969) opisał ten fraktal w 1915 r. Był jednym z twórców nowoczesnej teorii mnogości i topologii, autorem ponad 700 prac. Zaskakujący jest związek jego trójkąta z trójkątem Pascala: zaznaczając w nim liczby nieparzyste, otrzymujemy dokładnie wzór trójkąta Sierpińskiego. Ten sam kształt pojawia się też w chaotycznej „grze w chaos" (losowe skoki ku wierzchołkom) i w antenach fraktalnych.

Po co Ci to na maturze:

To modelowy przykład ciągu geometrycznego zbieżnego do zera ($P_k = P_0 q^k$, $q = \tfrac{3}{4} < 1$) obok ciągu rozbieżnego ($N_k = 3^k \to \infty$). Łączy granice ciągów, potęgi i geometrię fraktalną. Wacław Sierpiński to jeden z dwóch polskich akcentów tej kolekcji (obok Banacha i Tarskiego).

Zapamiętaj: pole trójkąta Sierpińskiego maleje ×3/4 co iterację i dąży do zera ($P_0(3/4)^k \to 0$), a liczba trójkącików rośnie ×3 ($3^k$). Znikające pole, nieskończenie bogata struktura.