Igła Buffona — π z rzutów igłą

Co się właśnie stało?

Rzucamy N igieł o długości L na podłogę z równoległymi liniami odległymi o d (przy L ≤ d). Zliczamy, ile igieł przecięło którąś linię. Częstość przecięć (przecięcia/N) przybliża prawdopodobieństwo przecięcia: im więcej rzutów, tym bliżej prawdziwej wartości.

Prawdopodobieństwo przecięcia:

— i to jest zdumiewające: liczba π, z pozoru związana tylko z okręgiem, pojawia się w problemie o rzucaniu igieł na proste linie. Odwracając ten wzór, z częstości przecięć szacujemy π:

Przyjmując dla uproszczenia $L = d$ mamy $P = 2/\pi$, więc $\pi \approx \dfrac{2N}{\text{liczba przecięć}}$.

Niezmiennik — czego losowanie NIE zmienia:

Ta częstość jest zawsze dokładnie taka sama, niezależnie od N — to czysta geometria. Rzucanie igieł tylko ją estymuje, z błędem malejącym wraz ze wzrostem N (prawo wielkich liczb). π pojawia się tu, bo rozkład kąta, pod jakim pada igła, ma symetrię obrotową (jest „okrągły").

Skąd wzięła się ta metoda?

Problem postawił Georges-Louis Leclerc, hrabia de Buffon, w 1733 r., a rozwiązanie opublikował w 1777 r. (w „Essai d'arithmétique morale"). Jest to jeden z pierwszych i najsłynniejszych problemów geometrycznego rachunku prawdopodobieństwa — i pierwsza metoda „Monte Carlo" (estymacja wartości przez losowe próbkowanie) na długo przed nazwaniem tej techniki. Zaskakujące jest to, że rzucając igłą na równoległe linie i licząc, jak często igła przecina linię, można eksperymentalnie oszacować liczbę π.

Co to znaczy w praktyce?

To ogólna idea: gdy dokładne obliczenie jest trudne, losowe próbkowanie daje dobre przybliżenie. Ta sama zasada napędza dziś symulacje Monte Carlo w fizyce, finansach i uczeniu maszynowym — igła Buffona to jej najstarszy, geometryczny przodek.

Po co Ci to na maturze:

Zadania z prawdopodobieństwa geometrycznego liczy się dokładnie ze stosunku miar (długości, pól, kątów), a nie z losowania. Igła Buffona pokazuje intuicję, jak taki stosunek — tu 2L/(πd) — łączy geometrię z prawdopodobieństwem.

Zapamiętaj: więcej rzutów ⇒ mniejszy błąd estymacji, ale częstość przecięć 2L/(πd) jest stała od zawsze — rzucanie igieł tylko ją odkrywa.