Prawdopodobieństwo geometryczne

Co się właśnie stało?

Losujemy punkt jednostajnie z kwadratu o boku 1 (pole = 1), w który wpisane jest koło o promieniu $r$ — to obszar sprzyjający. Prawdopodobieństwo trafienia w koło nie zależy od zliczania przypadków (jak przy rzucie kostką), bo punktów jest nieskończenie wiele. Liczymy je jako stosunek pól — i właśnie tyle wynosi udział niebieskich punktów wśród wszystkich.

Prawdopodobieństwo geometryczne:

Tutaj pole sprzyjające to $\pi r^2$ (koło), a pole całkowite to $1$ (kwadrat), więc $P = \pi r^2$. To rozszerzenie klasycznej definicji prawdopodobieństwa na przypadki z nieskończenie wieloma równie prawdopodobnymi wynikami.

Niezmiennik — dlaczego NIE zawsze ½:

Prawdopodobieństwo zmienia się razem z wielkością obszaru sprzyjającego — jest równe stosunkowi miar, a nie stałej ½. Kluczowe założenie to jednostajność losowania: każdy punkt figury jest równie prawdopodobny. Analogicznie liczymy je dla długości na odcinku ($\text{długość}/\text{długość}$) lub objętości w przestrzeni.

Skąd wzięło się to pojęcie?

Pierwszym przykładem geometrycznego rachunku prawdopodobieństwa był słynny problem igły Buffona (Georges-Louis Leclerc de Buffon, XVIII w.): rzucamy igłą na podłogę w równoległe deski i pytamy, jaka jest szansa, że igła przetnie linię między deskami. Odpowiedź prowadzi wprost do stosunku miar (i zaskakująco — do liczby $\pi$). Ta idea leży też u podstaw metod Monte Carlo — szacowania wielkości przez losowe próbkowanie.

Co to znaczy w praktyce?

Gdy „przestrzeń zdarzeń" jest ciągła (losowy punkt, losowy moment czasu, losowa długość), nie da się zliczyć przypadków — zamiast tego rysujemy obszary i dzielimy ich miary. Rozsypana siatka punktów w symulacji tylko estymuje ten stosunek (traf./N ≈ P), ale sam wzór jest dokładny.

Po co Ci to na maturze:

W zadaniach z prawdopodobieństwa geometrycznego chwyt jest zawsze ten sam: narysuj obszar całkowity i obszar sprzyjający, policz ich miary (pole, długość, objętość) i podziel jedno przez drugie. Uważaj na założenie jednostajności — bez niego wzór nie działa.

Zapamiętaj: przy losowaniu jednostajnym prawdopodobieństwo = miara obszaru sprzyjającego / miara obszaru całkowitego. Nie ½ „na oko" — dokładny stosunek pól.