Liczba π metodą Monte Carlo

Co się właśnie stało?

Losujemy punkty jednostajnie w kwadracie o boku 2 (od −1 do 1), w który wpisane jest koło o promieniu r = 1. Zliczamy, ile punktów wpadło do koła. Stosunek trafień do wszystkich losowań przybliża stosunek pól: im więcej losowań, tym bliżej prawdziwej wartości.

Wzór Monte Carlo:

— bo pole koła to $P=\pi r^2$, a przy r = 1 pole kwadratu wynosi $(2r)^2 = 4$. Stosunek pól to więc dokładnie $\pi/4$, a losowanie tylko go estymuje.

Niezmiennik — czego losowanie NIE zmienia:

Ten stosunek jest zawsze dokładnie taki sam, niezależnie od N — to czysta geometria. Losowanie punktów tylko go szacuje, z błędem malejącym wraz ze wzrostem N (prawo wielkich liczb).

Skąd wzięła się ta metoda?

Pomysł wpadł do głowy Stanisławowi Ulamowi w 1946 r. w Los Alamos, podczas rekonwalescencji po chorobie — rozmyślając nad grą w pasjansa, zauważył, że zamiast liczyć kombinatorycznie szanse ułożenia kart, można rozegrać wiele losowych partii i zliczyć statystyki. Wspólnie z Johnem von Neumannem rozwinął tę ideę do obliczeń dyfuzji neutronów przy pracach nad bombą wodorową. Nazwę „Monte Carlo" zaproponował Nicholas Metropolis, nawiązując do kasyna w Monte Carlo, gdzie hazardem parał się wuj Ulama.

Co to znaczy w praktyce?

Metoda Monte Carlo to ogólna technika: gdy dokładne obliczenie jest zbyt skomplikowane, losowe próbkowanie daje dobre przybliżenie. Dziś stosuje się ją w fizyce (symulacje jądrowe, cząsteczkowe), finansach (wycena opcji, ryzyko), uczeniu maszynowym i inżynierii.

Po co Ci to na maturze:

Zadania z prawdopodobieństwa geometrycznego liczy się dokładnie ze stosunku pól (jak tutaj: π/4), bez losowania — Monte Carlo to tylko wizualna intuicja, jak taki stosunek estymować, gdy dokładny wzór jest nieznany lub zbyt trudny.

Zapamiętaj: więcej losowań ⇒ mniejszy błąd estymacji, ale stosunek pól P(koła)/P(kwadratu) = π/4 jest stały od zawsze — losowanie go tylko odkrywa.