Przełomy matematyczne

twierdzenie Talesa — proste równoległe wyznaczają odcinki proporcjonalne

twierdzenie Pitagorasa — wizualne dowody a²+b²=c²

niewymierność √2 — dowód nie wprost

paradoks Achillesa i żółwia — zbieżny szereg geometryczny

spirala Teodorosa — geometryczna konstrukcja pierwiastków √n

złoty podział odcinka — proporcja φ w geometrii

liczby doskonałe — równe sumie swoich dzielników właściwych

sito Eratostenesa i nieskończoność liczb pierwszych

krzywe stożkowe — okrąg, elipsa, parabola, hiperbola

ciąg Fibonacciego i złota liczba φ

kąt złoty i liczby Fibonacciego w upakowaniu nasion (fyllotaksja)

rozbieżność szeregu harmonicznego mimo malejących wyrazów

róg Gabriela — skończona objętość, nieskończone pole

liczby pierwsze Mersenne'a (2ᵖ−1) — największe znane liczby pierwsze

trójkąt Pascala — współczynniki dwumianowe

zasada indukcji matematycznej — dowód dla wszystkich liczb naturalnych

metoda stycznych (Newtona) — szybkie znajdowanie pierwiastków

krzywa łańcuchowa (katenaria) — zwisający łańcuch to cosh, nie parabola

brachistochrona — najszybszy zjazd to cykloida, nie linia prosta

problem bazylejski — suma odwrotności kwadratów równa π²/6

narodziny teorii grafów

tożsamość Eulera e^(iπ)+1=0 — najpiękniejszy wzór matematyki

liczba e — granica ciągu i procent składany

wzór Eulera dla wielościanów V−E+F=2

twierdzenie Bayesa — paradoks testu na rzadką chorobę

igła Buffona — π z prawdopodobieństwa geometrycznego

prawdopodobieństwo geometryczne — stosunek pól zamiast zliczania

geometryczna interpretacja liczb zespolonych na płaszczyźnie

centralne twierdzenie graniczne i rozkład normalny

twierdzenie o wartości pośredniej — istnienie miejsca zerowego

brak ogólnego wzoru na pierwiastki równań stopnia ≥5 (Abel-Ruffini, teoria Galois)

geometrie nieeuklidesowe — suma kątów trójkąta inna niż 180°

zasada szufladkowa: N obiektów w M<N szufladach wymusza kolizję

konstrukcje cyrklem i linijką — co wykonalne (17-kąt), co niemożliwe (trisekcja)

cykl Hamiltona (każdy wierzchołek raz) kontra droga Eulera (każda krawędź raz)

wstęga Möbiusa — powierzchnia nieorientowalna

przekształcenia geometryczne — izometrie i jednokładność

różne „wielkości" nieskończoności — nieprzeliczalność liczb rzeczywistych

trójkąt Reuleaux — figura o stałej szerokości inna niż koło

kwadratura koła — niemożliwa, bo π jest przestępna

liczby przestępne (π, e) — nie są pierwiastkami żadnego wielomianu wymiernego

butelka Kleina — domknięta powierzchnia jednostronna bez wnętrza

zbiór Cantora — miara (długość) zero, a nieprzeliczalnie wiele punktów

deska Galtona — z losowych odbić kulek rodzi się krzywa dzwonowa (CTG)

krzywa Peano — ciągła linia wypełniająca cały kwadrat

problem trzech ciał — brak ogólnego wzoru, ruch chaotyczny

twierdzenie Picka — pole wielokąta kratowego = i + b/2 − 1

twierdzenie Morleya — trisektory kątów dowolnego trójkąta tworzą trójkąt równoboczny

paradoks Russella — sprzeczność naiwnej teorii mnogości

płatek Kocha — nieskończona długość przy skończonym polu

liczby normalne — w rozwinięciu π (prawdopodobnie) znajduje się każda sekwencja cyfr

twierdzenie o punkcie stałym — ciągłe przekształcenie dysku ma punkt stały

twierdzenie o włochatej kuli — zawsze istnieje punkt bezwietrzny

suma 1+2+3+... regularyzowana do -1/12 (funkcja dzeta)

paradoks (błąd) hazardzisty — przy zdarzeniach niezależnych historia nie zmienia szansy

trójkąt Sierpińskiego — fraktal o polu dążącym do zera (polski akcent)

paradoks nieskończonego hotelu — arytmetyka nieskończoności

paradoks rozkładu kuli na dwie identyczne (przy aksjomacie wyboru) — polski wkład

twierdzenie Ramseya — w grupie 6 osób zawsze jest trójka znajomych lub obcych

twierdzenia o niezupełności — granice systemów formalnych

problem stopu — nierozstrzygalność i granice obliczalności

problem Collatza (3n+1) — prosty do sformułowania, nierozwiązany

prawo Benforda — logarytmiczny rozkład pierwszej cyfry, wykrywanie oszustw

twierdzenie o kanapce z szynką — jedno cięcie połowi trzy bryły naraz (szkoła lwowska)

paradoks urodzinowy — prawdopodobieństwo wspólnych urodzin

złożoność algorytmów sortowania — n² kontra n·log n

metoda Monte Carlo — losowa estymacja liczby π

kod Graya — kolejne wartości różnią się jednym bitem

równowaga Nasha i dylemat więźnia (teoria gier)

paradoks Simpsona — odwrócenie trendu po agregacji danych

twierdzenie Arrowa o niemożliwości idealnie sprawiedliwego systemu wyborczego

problem sekretarki — optymalna strategia „reguła 37%" (1/e)

teoria chaosu — równanie logistyczne i efekt motyla

spirala Ulama — liczby pierwsze układają się w ukośne linie (polski akcent)

liczba Grahama — skończona, ale większa niż da się zapisać we Wszechświecie

słynny paradoks probabilistyczny (problem Monty Halla)

twierdzenie o czterech barwach — pierwszy dowód z użyciem komputera

geometria fraktalna — pierwsza komputerowa wizualizacja zbioru Mandelbrota

paradoks przyjaźni — Twoi znajomi mają średnio więcej znajomych niż Ty

hipoteza o ukrytej regularności rozkładu liczb pierwszych (nierozwiązana od 1859)

problem P kontra NP — czy każdy szybko weryfikowalny problem da się szybko rozwiązać? (nierozwiązany)

problem plecakowy — optymalizacja NP-trudna (związek z P vs NP)

kryptografia klucza publicznego RSA

sto więźniów i pudełka — strategia cyklowa daje ~31% szans zamiast praktycznie zera

dowód hipotezy Poincarégo — odmówił Medalu Fieldsa i miliona dolarów

kostka Rubika — 4,3·10¹⁹ ułożeń, „liczba Boga" = 20 ruchów (teoria grup)

dowód Wielkiego Twierdzenia Fermata